Xét các số thực dương x;y thỏa mãn \({\log _3}\frac{{1 - y}}{{x + 3xy}} = 3xy + x + 3y - 4\).

* Hướng dẫn giải

ĐK: \(\frac{{1 - y}}{{x + 3xy}} > 0 \Rightarrow y < 1\,\left( {x;y > 0} \right)\) 

Ta có

\(\begin{array}{l}
{\log _3}\frac{{1 - y}}{{x + 3xy}} = 3xy + x + 3y - 4\\
 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - y} \right) - {\log _3}\left( {x + 3xy} \right) = x + 3xy + 3\left( {y - 1} \right) - 1\\
 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - y} \right) + 3\left( {1 - y} \right) = {\log _3}\frac{{\left( {x + 3xy} \right)}}{3} + \left( {x + 3xy} \right)\left( * \right)
\end{array}\) 

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _3}t + 3t\,\left( {t > 0} \right)\) có \(f'\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 3}} + 3 > 0;\forall t > 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) 

Kết hợp (*) suy ra \(f\left( {1 - y} \right) = f\left( {\frac{{x + 3xy}}{3}} \right) \Leftrightarrow \frac{{x + 3xy}}{3} = 1 - y\) 

\( \Leftrightarrow x + 3xy = 3 - 3y \Leftrightarrow x + 3xy + 3y - 3 = 0(**)\) 

Xét \(P = x + y \Rightarrow x = P - y\) thay vào (**) ta được

\(P - y + 3\left( {P - y} \right)y + 3y - 3 = 0 \Leftrightarrow P(3y + 1) = 3{y^2} - 2y + 3\) 

Ta tìm giá trị nhỏ nhất của \(g\left( y \right) = \frac{{3{y^2} - 2y + 3}}{{3y + 1}}\) trên (0;1) 

Ta có \(g'\left( y \right) = \frac{{\left( {6y - 2} \right)\left( {3y + 1} \right) - 3\left( {3{y^2} - 2y + 3} \right)}}{{{{\left( {3y + 1} \right)}^2}}} = \frac{{9{y^2} + 6y - 11}}{{{{\left( {3y + 1} \right)}^2}}}\) 

Giải phương trình \(g'\left( y \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = \frac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3} \in \left( {0;1} \right)\\
y = \frac{{ - 1 - 2\sqrt 3 }}{3} \notin \left( {0;1} \right)
\end{array} \right.\) 

Lại có \(g'\left( y \right) < 0\,\forall y \in \left( {0;\frac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right)\) và \(g'\left( y \right) > 0\,\forall y \in \left( {\frac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3};1} \right)\) 

Hay \(g'(y)\) đổi dấu từ âm sang dương tại \(y = \frac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3}\) nên

\(\mathop {\min }\limits_{\left( {0;1} \right)} g\left( y \right) = g\left( {\frac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right) = \frac{{4\sqrt 3  - 4}}{3} \Rightarrow {P_{\min }} = \frac{{4\sqrt 3  - 4}}{3}\)