Khi cắt hình nón có chiều cao 16 cm và đường kính đáy 24 cm bởi một mặt phẳng song song với đường sinh của hình nón t

* Hướng dẫn giải

Khi cắt hình nón bởi mặt phẳng song song với đường sinh của hình nón thì ta được thiết diện là một parabol.

Giả sử thiết diện như hình vẽ.

Khi đó ta luôn có \(AB\bot MH\) 

Kẻ HE / /SA trong mặt phẳng (SAB) 

Khi đó SA // (HME) 

Đặt \(BH = x\left( {0 < x < 24} \right)\), ta có \(SA = \sqrt {S{O^2} + O{A^2}}  = \sqrt {{{16}^2} + {{12}^2}}  = 20cm\) 

Xét tam giác AMB vuông tại M có \(M{H^2} = AH.BH = x\left( {24 - x} \right) \Rightarrow MH = \sqrt {x\left( {24 - x} \right)} \) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

Xét tam giác SAB có \(HE//SA \Rightarrow \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{{HE}}{{SA}} \Leftrightarrow HE = \frac{{x.20}}{{24}} = \frac{5}{6}x\) 

Thiết diện parabol có chiều cao \(HE = \frac{5}{6}x\) và bán kính \(r = MH = x\left( {24 - x} \right)\) 

Diện tích thiết diện là \(S = \frac{4}{3}HE.MH = \frac{4}{3}.\frac{5}{6}x\sqrt {x\left( {24 - x} \right)}  = \frac{{10}}{9}\sqrt {x.x.x\left( {24 - x} \right)} \) 

\( = \frac{{10}}{{9\sqrt 3 }}\sqrt {x.x.x\left( {72 - 3x} \right)} \mathop  \le \limits^{Co - si} \frac{{10}}{{9\sqrt 3 }}.\sqrt {{{\left( {\frac{{\left( {x + x + x + 72 - 3x} \right)}}{4}} \right)}^4}}  \approx 207,8c{m^2}\) 

Dấu = xảy ra khi \(x = 72 - 3x \Leftrightarrow x = 18\left( {tm} \right)\) 

Vậy diện tích lớn nhất của thiết diện là \(S \approx 207,8c{m^2}\)