Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f(x)\) trên tập số thực R và đồ thị của hàm số \(y=f(x)\) như hình

* Hướng dẫn giải

Từ đồ thị hàm số \(f(x)\) ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ \(x = 0;x = 1;x = 3\) 

\(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 1\\
x = 3
\end{array} \right.\) 

Lại thấy đồ thị hàm số \(y=f(x)\) có ba điểm cực trị nên \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = {x_1} \in \left( {0;1} \right)\\
x = {x_2} \in \left( {1;3} \right)
\end{array} \right.\) 

Hàm số \(y = {\left( {f\left( x \right)} \right)^2}\) có đạo hàm \(y' = 2f\left( x \right).f'\left( x \right)\) 

Xét phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f\left( x \right) = 0\\
f'\left( x \right) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 1\\
x = 3\\
x = {x_1}\\
x = {x_2}
\end{array} \right.\) 

Ta có BXD của y' như sau

Nhận thấy hàm số \(y = {\left( {f\left( x \right)} \right)^2}\) có y' đổi dấu từ âm sang dương tại ba điểm \(x = 0;x = 1;x = 3\) nên hàm số có ba điểm cực tiểu. Và y' đổi dấu từ dương sang âm tại hai điểm \(x = {x_1};x = {x_2}\) nên hàm số có hai điểm cực đại.