Cho \({9^x} + {9^{ - x}} = 14\), khi đó biểu thức \(M = \frac{{2 + {{81}^x} + {{81}^{ - x}}}}{{11 - {3^x} - {3^{ - x}}}}\) có giá trị b

* Hướng dẫn giải

Ta có:

\({9^x} + {9^{ - x}} = 14 \Leftrightarrow {\left( {{9^x} + {9^{ - x}}} \right)^2} = 196 \Leftrightarrow {9^{2x}} + {2.9^x}{.9^{ - x}} + {9^{ - 2x}} = 196 \Leftrightarrow {81^x} + {81^{ - x}} + 2 = 196 \Leftrightarrow {81^x} + {81^{ - x}} = 194\)

Và \({\left( {{3^x} + {3^{ - x}}} \right)^2} = {3^{2x}} + {2.3^x}{.3^{ - x}} + {3^{ - 2x}} = {9^x} + {9^{ - x}} + 2 = 14 + 2 = 16 \Rightarrow {3^x} + {3^{ - x}} = 4\) 

Nên \(M = \frac{{2 + {{81}^x} + {{81}^{ - x}}}}{{11 - {3^x} - {3^{ - x}}}} = \frac{{2 + 194}}{{11 - \left( {{3^x} + {3^{ - x}}} \right)}} = \frac{{196}}{{11 - 4}} = \frac{{196}}{7} = 28\)