Cho lăng trụ tam giác đều ABC.ABC có đáy là tam giác đều cạnh \(a,AA = 2a\). Gọi \(\alpha\) là góc giữa AB' và BC'. Tính \(\cos \alpha \)

* Hướng dẫn giải

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB', BB', B'C'.

Ta có: MN // AB' và NP // BC' (đường trung bình trong tam giác)

Do đó góc giữa hai đường thẳng AB' và BC' bằng góc giữa hai đường thẳng MN và NP.

Gọi Q là trung điểm của A'B' thì \(MQ \bot \left( {A'B'C'} \right) \Rightarrow MQ \bot QP\) 

Tam giác MQP có \(MQ = AA' = 2a,Q = \frac{1}{2}A'C' = \frac{a}{2}\) 

\( \Rightarrow MP = \sqrt {M{Q^2} + Q{P^2}}  = \sqrt {4{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}}  = \frac{{a\sqrt {17} }}{2}\)

Lại có  \(MN = \frac{1}{2}AB' = \frac{1}{2}\sqrt {A{B^2} + BB{'^2}}  = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + 4{a^2}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\) 

\(NP = \frac{1}{2}BC' = \frac{1}{2}\sqrt {BB{'^2} + B'C{'^2}}  = \frac{1}{2}\sqrt {4{a^2} + {a^2}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\) 

Áp dụng định lý hàm số cô sin trong tam giác MNP ta có:

\(\cos MNP = \frac{{M{N^2} + N{P^2} - M{P^2}}}{{2MN.NP}} = \frac{{\frac{{5{a^2}}}{4} + \frac{{5{a^2}}}{4} - \frac{{17{a^2}}}{4}}}{{2.\frac{{a\sqrt 5 }}{2}.\frac{{a\sqrt 5 }}{2}}} =  - \frac{7}{{10}} < 0\) 

Do đó góc giữa hai đường thẳng MN và NP thỏa mãn \(\cos \left( {MN,MP} \right) = \frac{7}{{10}}\)