Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAD) biết hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

* Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm của AB suy ra \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\) 

Ta thấy: \(BC//AD \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow BC//\left( {SAD} \right)\) 

\( \Rightarrow d\left( {C,\left( {SAD} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {SAD} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SAD} \right)} \right)\) (vì H là trung điểm của AB)

Gọi K là hình chiếu của H lên \(SA \Rightarrow HK \bot SA\) 

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}
AD \bot AB\\
AD \bot SH
\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AD \bot HK\) 

Từ hai điều trên suy ra \(HK \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow d\left( {H,\left( {SAD} \right)} \right) = HK\) 

Tam giác SAB đều cạnh a nên \(SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},HA = \frac{a}{2} \Rightarrow HK = \frac{{HA.HS}}{{SA}} = \frac{{\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{a} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\) 

\( \Rightarrow d\left( {C,\left( {SAD} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SAD} \right)} \right) = 2.\frac{{a\sqrt 3 }}{4} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)