Cho \(\int\limits_0^1 {\frac{{{9^x} + 3m}}{{{9^x} + 3}}dx}  = {m^2} - 1\). Tính tổng tất cả các giá trị của tham số m.

* Hướng dẫn giải

Ta có \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{{9^x} + 3m}}{{{9^x} + 3}}} dx = \int\limits_0^1 {\frac{{\left( {{9^x} + 3} \right) - 3 + 3m}}{{{9^x} + 3}}} dx = \int\limits_0^1 {\left( {1 + \frac{{3\left( {m - 1} \right)}}{{{9^x} + 3}}} \right)} dx\)

\( = x\left| \begin{array}{l}
^1\\
_0
\end{array} \right. + 3\left( {m - 1} \right)\int\limits_0^1 {\frac{1}{{{9^x} + 3}}dx = 1 + } 3\left( {m - 1} \right)\int\limits_0^1 {\frac{1}{{{9^x} + 3}}dx} \) 

Ta tính \(J = \int\limits_0^1 {\frac{1}{{{9^x} + 3}}dx} \) 

Đặt \({9^x} + 3 = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{9^x}.\ln 9dx = dt\\
{9^x} = t - 3
\end{array} \right. \Rightarrow dx = \frac{1}{{\ln 9}}.\frac{{dt}}{{\left( {t - 3} \right)}}\) 

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 0 \Rightarrow t = 4\\
x = 1 \Rightarrow t = 12
\end{array} \right.\) 

Khi đó \(J = \int\limits_4^{12} {\frac{1}{t}.\frac{1}{{\ln 9}}.\frac{1}{{\left( {t - 3} \right)}}dt = } \frac{1}{{\ln 9}}\int\limits_4^{12} {\frac{1}{t}.} \frac{1}{{\left( {t - 3} \right)}}dt = \frac{1}{{3\ln 9}}\int\limits_4^{12} {\left( {\frac{1}{{t - 3}} - \frac{1}{t}} \right)dt} \)  

\( = \frac{1}{{3\ln 9}}\ln \left| {\frac{{t - 3}}{t}} \right|\left| \begin{array}{l}
^{12}\\
_4
\end{array} \right. = \frac{1}{{3\ln 9}}\left( {\ln \frac{3}{4} - \ln \frac{1}{4}} \right) = \frac{1}{{3.2\ln 3}}.\ln 3 = \frac{1}{6}\) 

Suy ra \(I = 1 + 3\left( {m - 1} \right).\frac{1}{6} = 1 + \frac{{m - 1}}{2}\), theo đề bài ta có \(1 + \frac{{m - 1}}{2} = {m^2} \Leftrightarrow 2{m^2} - m - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1\\
m =  - \frac{1}{2}
\end{array} \right.\) 

Tổng các giá trị của m là \(1 + \left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}\)