Có bao nhiêu cách phân tích số \(15^9\) thành tích của ba số nguyên dương, biết rằng các cách phân tích mà các nhân tử chỉ khác nhau về thứ tự thì chỉ được tính một lần?

* Hướng dẫn giải

Ta có: \({15^9} = {3^9}{.5^9}\). Đặt \(a = {3^m}{.5^x},b = {3^n}{.5^y},c = {3^p}{.5^z}\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) 

Khi đó \({15^9} = a.b.c = {3^{m + n + p}}{.5^{x + y + z}} = {3^9}{.5^9} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m + n + p = 9\\
x + y + z = 9
\end{array} \right.\)  

+) TH1: 3 số \(a, b, c\) giống nhau thì \(m = n = p = 3,x = y = z = 3\) nên có 1 cách.

+) TH2: 2 trong ba số giống nhu và khác số còn lại, giả sử

\(a = b \Rightarrow m = n,x = y \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2m + p = 9\\
2x + z = 9
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
p = 9 - 2m\\
z = 9 - 2x
\end{array} \right.\) 

Do \(p \ge 0,z \ge 0\) nên \(0 \le m \le 4,0 \le x \le 4\) nên có 5 cách chọn m và 5 cách chọn x.

Ngoài ra \(m = x = n = y = p = z = 3\) trùng với TH1 nên trong trường hợp này ta chỉ có \(5.5 - 1 = 24\) cách chọn.

+) TH3: Số cách chọn ba số \(m, n, p\) phân biệt có tổng bằng 9 là \(C_{11}^2\) và số cách chọn ba số \(x, y, z\) phân biệt có tổng bằng 9 là \(C_{11}^2\).

Suy ra số cách chọn ba số \(a, b, c\) phân biệt \(C_{11}^2.C_{11}^2 - 24.3 - 1 = 2592\) cách chọn.

Vậy số cách phân tích (ba số không phân biệt thứ tự) là \(\frac{{2592}}{{3!}} + 25 = 517\) cách.