Cho hai hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {3{m^2} + 4m + 5} \right)x + 2019\) và \(g\left(x \right) = \left( {{m^2} + 2m + 5} \ri...

* Hướng dẫn giải

Xét phương trình \(g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 2m + 5} \right){x^3} - \left( {2{m^2} + 4m + 9} \right){x^2} - 3x + 2 = 0\) 

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 2m + 5} \right){x^3} - \left( {2{m^2} + 4m + 10} \right){x^2} + {x^2} - 3x + 2 = 0\\
 \Leftrightarrow {x^2}\left[ {\left( {{m^2} + 2m + 5} \right)x - 2\left( {{m^2} + 2m + 5} \right)} \right] + \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 2m + 5} \right){x^2}\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left[ {\left( {{m^2} + 2m + 5} \right){x^2} + x - 1} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
\left( {{m^2} + 2m + 5} \right){x^2} + x - 1 = 0\,\,\left( * \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)  

Xét phương trình (*): vì \(\left\{ \begin{array}{l}
{m^2} + 2m + 5 = {\left( {m + 1} \right)^2} + 4 > 0\\
ac =  - \left( {{m^2} + 2m + 5} \right) < 0;\forall m\\
\left( {{m^2} + 2m + 5} \right){.2^2} + 2 - 1 = 4{m^2} + 8m + 21 > 0
\end{array} \right.\) nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt \(u;v \ne 2\) 

Hay \(g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = u\\
x = v
\end{array} \right.\) 

+ Lại có \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {3{m^2} + 4m + 5} \right)x + 2019\) 

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = {x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3{m^2} + 4m + 5 = {\left( {x - \left( {m + 1} \right)} \right)^2} + 2{m^2} + 2m + 3 > 0;\forall m\) nên hàm số \(f(x)\) là hàm đồng biến trên R.

Từ đó \(g\left( {f\left( x \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f\left( x \right) = 2\,\,\left( 1 \right)\\
f\left( x \right) = u\,\,\left( 2 \right)\\
f\left( x \right) = v\,\,\left( 3 \right)
\end{array} \right.\) 

Vì \(f(x)\) là hàm đồng biến nên mỗi phương trình (1);(2);(3) đều chỉ có 1 nghiệm duy nhất và ba nghiệm của phương trình này khác nhau.

Từ đó phương trình \(g\left( {f\left( x \right)} \right) = 0\) có ba nghiệm phân biệt.