Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số

* Hướng dẫn giải

Chọn D.

Ta có:$y=x+m\sqrt{x^2+2}$

$\Rightarrow y\text{'}=1+\frac{mx}{\sqrt{x^2+2}}$

Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathrm{ℝ}$

và $f\text{'}\left(x\right)$ = 0 tại hữu hạn điểm.

+) Với $x=0\Rightarrow y\text{'}\ge 0\forall m\Rightarrow tm$

+) Với x > 0 ta có: (*)

+) Với x < 0 ta có: (*)

Xét $g\left(x\right)=-\frac{\sqrt{x^2+2}}{x}\left(x\#0\right) ta có:$

$g\text{'}\left(x\right)=\frac{2}{x^2\left(x^2+2\right)}>0\forall x\in \mathrm{ℝ}$

$\Rightarrow$Hàm số đồng biến trên trên $\left(-\infty ;0\right) và \left(0;+\infty \right)$

BBT:

Từ BBT ta được: $-1\le m\le 1$ thỏa mãn bài toán

Mà $m\in \mathrm{\mathbb{Z}}\Rightarrow m\in \left\{-1;0;1\right\}$