Từ khúc gỗ hình trụ có bán kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường kính và nghiêng với đáy một góc 45^0 để lấy một hình nêm như hình vẽ

* Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó hình niêm có đáy là nửa đường tròn có phương trình \({x^2} + {y^2} = 225\) hay \(y = \sqrt {225 - {x^2}} ,x \in \left[ { - 15;15} \right].\) 

Một mặt phẳng cắt và vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x, \(x \in \left[ { - 15;15} \right]\) cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích là S(x) như hình vẽ trên.

Đặt \(NP = y\), ta có: \(MN = NP.\tan {45^0} = y = \sqrt {15 - {x^2}}\) 

Khi đó \(S(x) = \frac{1}{2}MN.NP = \frac{1}{2}.(225 - {x^2})\)   

Suy ra thể tích hình niêm là: \(V = \int\limits_{ - 15}^{15} {S(x)dx} = \frac{1}{2}\int\limits_{ - 15}^{15} {(225 - {x^2})dx} \)

\(= 2250\,(c{m^3}).\)