Cho tam giác OAB đều cạnh a. Trên đường thẳng d qua O và vuông góc với mặt phẳng (OAB) lấy điểm M sao cho OM = x. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên MB và OB. Gọi...

* Hướng dẫn giải

Do tam giác OAB đều cạnh a, suy ra F là trung điểm \(OB \Rightarrow OF = \frac{a}{2}.\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
AF \bot OB\\
AF \bot MO
\end{array} \right. \Rightarrow AF \bot \left( {MOB} \right) \Rightarrow AF \bot MB.\)

Lại có \(MB \bot AE\) nên suy ra \(MB \bot \left( {AEF} \right) \Rightarrow MB \bot EF.\)        

Suy ra \(\Delta OBM\) đồng dạng \(\Delta ONF\) nên \(\frac{{OB}}{{OM}} = \frac{{ON}}{{OF}}ON = \frac{{OB.OF}}{{OM}} = \frac{{{a^2}}}{{2x}}.\)

Ta có \({V_{ABMN}} = {V_{ABOM}} + {V_{ABON}} = \frac{1}{3}{S_{\Delta OAB}}\left( {OM + ON} \right) = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}}\left( {x + \frac{{{a^2}}}{{2x}}} \right) \ge \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}.\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x = \frac{{{a^2}}}{{2x}} \Leftrightarrow x = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).