Cho hàm số \(y = \frac{{x + m}}{{x - 2}}\) thỏa mãn \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} y = 4\).

* Hướng dẫn giải

Hàm số \(y = \frac{{x + m}}{{x - 2}}\) xác định và liên tục trên [3;5]. Ta có \(y' = \frac{{ - 2 - m}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).

+ Xét \( - 2 - m > 0 \Leftrightarrow m <  - 2\,\,\left( * \right)\).

Khi đó hàm số đồng biến trện [3;5].

Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} y = y\left( 3 \right) = 3 + m\).

Do đó \(3 + m = 4 \Leftrightarrow m = 1\) (không thỏa (*)).

+ Xét \( - 2 - m < 0 \Leftrightarrow m >  - 2\,\,\,\left( {**} \right)\).

Khi đó hàm số nghịch biến trên [3;5].

Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} y = y\left( 5 \right) = \frac{{5 + m}}{3}\).

Do đó \(\frac{{5 + m}}{3} = 4 \Leftrightarrow m = 7\) (thỏa (**)).

Vậy m = 7 > 5.