Đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x - 1}}{{x - 2}}\) cắt đường thẳng \(y = 2x + m\) (m là tham số) tại hai điểm phân

* Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường là: \(\frac{{3x - 1}}{{x - 2}} = 2x + m\).

\( \Leftrightarrow 3x - 1 = \left( {2x + m} \right)\left( {x - 2} \right)\) (vì x = 2 không thỏa phương trình).

\( \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {m - 7} \right)x + 1 - 2m = 0\)

Ta có: \(\Delta  = {m^2} + 2m + 41 > 0,{\rm{ }}\forall m \in R \)

\(\Rightarrow \) Hai đường luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B.

Gọi \(A\left( {{x_1};2{x_1} + m} \right),B\left( {{x_2};2{x_2} + m} \right).\)

Khi đó: \({x_1} + {x_2} = \frac{{7 - m}}{2},{x_1}{x_2} = \frac{{1 - 2m}}{2}\)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow AB = \sqrt 5 \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \\
 = \sqrt 5 \sqrt {{{\left( {\frac{{7 - m}}{2}} \right)}^2} - 4\left( {\frac{{1 - 2m}}{2}} \right)} \\
 = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\sqrt {{m^2} + 2m + 41} \\
 = \frac{{\sqrt 5 }}{2}\sqrt {{{\left( {m + 1} \right)}^2} + 40} 
\end{array}\)

 \( \Rightarrow AB \ge \frac{{\sqrt 5 }}{2}\sqrt {40}  = 5\sqrt 2 \).

Đẳng thức xảy ra khi m = - 1.