Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng \(\frac{{3a}}{4}\). Tính thể tích khối chóp đã cho

* Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm của BC, H là hình chiếu vuông góc của A lên SM.

Khi đó ta có \(AH = {d_{\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)}}\).

Ta có: \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},AH = \frac{{3a}}{4}\).

\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}}\\
 \Rightarrow \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{4}{{9{a^2}}} \Rightarrow SA = \frac{{3a}}{2}\\
V = \frac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SA = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{{3a}}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}
\end{array}\)