Tìm tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình \({3^x} + 3 = m.\sqrt {{9^x} + 1} \) có đúng 1 nghiệm

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t = {3^x},t > 0\)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow pt \Leftrightarrow t + 3 = m.\sqrt {{t^2} + 1} \\
 \Leftrightarrow m = \frac{{t + 3}}{{\sqrt {{t^2} + 1} }} = f\left( t \right).
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
f'\left( t \right) = \frac{{1 - 3t}}{{{{\left( {\sqrt {{t^2} - 1} } \right)}^3}}}\\
 \Rightarrow f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 1 - 3t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}.
\end{array}\)

Ta có bảng biến thiên hàm số f(t) như sau:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy, với \(m \in \left( {1;3} \right] \cup \left\{ {\sqrt {10} } \right\}\) thì phương trình đã cho có đúng 1 nghiệm.