Cho hàm số \(y = \sqrt {{x^2} + 2}  - \ln x\) trên đoạn [1;2].

* Hướng dẫn giải

Xét trên [1;2] hàm số liên tục.

\(\begin{array}{l}
y' = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2} }} - \frac{1}{x}\\
y' = 0 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2}  = {x^2}\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} =  - 1\\
{x^2} = 2
\end{array} \right. \Rightarrow x = \sqrt 2  \in \left[ {1;2} \right]\\
y\left( 1 \right) = \sqrt 3 ;y\left( 2 \right) = \sqrt 6  - \ln 2\\
y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2 - \frac{1}{2}\ln 2
\end{array}\)

Nên \(\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} {\mkern 1mu} y = y\left( {\sqrt 2 } \right) = 2 - \frac{1}{2}\ln 2\)

Và \(\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {1;2} \right]} {\mkern 1mu} y = y\left( 2 \right) = \sqrt 6  - \ln 2\)