Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang AB=2a, AD=DC=CB=a

* Hướng dẫn giải

Ta có BCDM là hình bình hành (vì CD song song và bằng BM) nên \(DM=BC=\frac{1}{2}AB\) suy ra tam giác ADB vuông tại D. Tương tự tam giác ACB vuông tại C.

Vì \(DM\text{//}CB\Rightarrow DM\text{//}\left( SBC \right)\) \(\Rightarrow d\left( DM,SB \right)=d\left( DM,\left( SBC \right) \right)=d\left( M,\left( SBC \right) \right)=\frac{1}{2}d\left( A,\left( SBC \right) \right)\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}
BC \bot AC\\
BC \bot SA
\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAC} \right)\) , do đó gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SC thì \(AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow d\left( A,\left( BC \right) \right)=AH\)

Trong tam giác vuông SAC ta có \(\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}=\frac{1}{9{{a}^{2}}}+\frac{1}{3{{a}^{2}}}=\frac{4}{9{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\frac{3a}{2}\)

Vậy\(d\left( SB,DM \right)=\frac{3a}{4}\)