Cho hình nón có chiều cao bằng \(2\sqrt{5}\).

* Hướng dẫn giải

Mặt phẳng qua đỉnh của hình nón và cắt hình nón theo thiết diện là tam giác đều \(SAB\(.

Gọi H là trung điểm của AB ta có  \(SH\bot AB\) và  \(OH\bot AB\).

Theo đề bài ta có:

\(h=SO=2\sqrt{5}\)

\({{S}_{\Delta SAB}}=\frac{1}{2}AB.SH=9\sqrt{3}\), mà \(SH=\frac{AB\sqrt{3}}{2}\)

\({{S}_{\Delta SAB}}=\frac{1}{2}AB.\frac{AB\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}\)

\(\Leftrightarrow \frac{A{{B}^{2}}\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}\Leftrightarrow A{{B}^{2}}=36\Leftrightarrow AB=6\,\,\,\left( AB>0 \right)\)

\(\Rightarrow SA=SB=AB=6\)

\(\Delta SOA\) vuông tại O ta có: \(S{{A}^{2}}=O{{A}^{2}}+S{{O}^{2}}\Rightarrow O{{A}^{2}}=S{{A}^{2}}-S{{O}^{2}}=16\)

\(\Rightarrow r=OA=4\,\,\left( OA>0 \right)\)

\(V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{1}{3}\pi {{.4}^{2}}.2\sqrt{5}=\frac{32\sqrt{5}\,\pi }{3}\)