Cho hàm số f(x) liên tục trên R. biết cos2x là nguyên hàm của hàm số f(x)e^x

* Hướng dẫn giải

Theo đề bài \(\cos 2x\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x){{e}^{x}}\) ta suy ra:

\(\Rightarrow \left( \cos 2x \right)'=f(x){{e}^{x}}\) \(\Leftrightarrow -2\sin 2x=f(x){{e}^{x}}\Leftrightarrow f(x)=\frac{-2\sin 2x}{{{e}^{x}}}\)

\(\Rightarrow f'(x)=\frac{-4{{e}^{x}}\cos 2x+2{{e}^{x}}\sin 2x}{{{\left( {{e}^{x}} \right)}^{2}}}=\frac{-4\cos 2x+2\sin 2x}{{{e}^{x}}}\)

\(\Rightarrow f'(x).{{e}^{x}}=-4\cos 2x+2\sin 2x\)

Vậy \(\int{f'(x){{e}^{x}}\text{dx}=}\,\int{(-4\cos 2x+2\sin 2x)\text{dx}}=-2\sin 2x-\cos 2x+C\)