Cho hàm số bậc bốn y = f(x) có đồ thị như hình bên. Số điểm cực trị của hàm số \(g(x)=f({{x}^{3}}+3{{x}^{2}})\) là

* Hướng dẫn giải

Do \(y=f\left( x \right)\) là hàm số bậc bốn nên là hàm số liên tục  và có đạo hàm luôn xác định tại \(\forall x\in \mathbb{R}\)

Theo đồ thị hàm số ta có được \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = {x_1} \in \left( { - 2;0} \right)\\
x = {x_2} \in \left( {0;4} \right)\\
x = {x_3} \in \left( {4;6} \right)
\end{array} \right.\)

Mặt khác \({g}'\left( x \right)=\left( 3{{x}^{2}}+6x \right){f}'\left( {{x}^{3}}+3{{x}^{2}} \right)\) nên \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
3{x^2} + 6x = 0\\
f'\left( {{x^3} + 3{x^2}} \right) = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x =  - 2\\
{x^3} + 3{x^2} = {x_1}\\
{x^3} + 3{x^2} = {x_2}\\
{x^3} + 3{x^2} = {x_3}
\end{array} \right. \)

Xét hàm số \(h\left( x \right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}\) trên \(\mathbb{R}\)

Ta có, \(h'\left( x \right) = 3{x^2} + 6x,\,\,h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x =  - 2
\end{array} \right.\), từ đó ta có BBT của \(y=h\left( x \right)\) như sau

Từ BBT của hàm số \(h\left( x \right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}\) nên ta có \(h\left( x \right)={{x}_{1}}\) có đúng một nghiệm, \(h\left( x \right)={{x}_{2}}\) có đúng 3 nghiệm, \(h\left( x \right)={{x}_{3}}\) có đúng một nghiệm phân biệt và các nghiệm này đều khác 0 và -2. Vì thế phương trình \({g}'\left( x \right)=0\) có đúng 7 nghiệm phân biệt và đều là các nghiệm đơn nên hàm số \(y=g\left( x \right)\) có 7 cực trị.