Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}{B}{C}\) có cạnh \(A{A}=a\), đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC=2a\), \(AB=a\sqrt{3}\).

* Hướng dẫn giải

Kẻ \(AH\bot BC\).

Lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) là lăng trụ đứng nên \(AH\bot B{B}'\).

Do đó \(AH\bot \left( BC{C}'{B}' \right)\).

Ta có \(A{A}'\text{//}\left( BC{C}'{B}' \right)\) nên \(d\left( A{A}',\,\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=d\left( A,\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=AH\).

Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có \(BC=2a\), \(AB=a\sqrt{3}\)nên \(AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}=a\).

Xét tam giác vuông \(ABC\) vuông tại \(A\), có \(AH\bot BC\) nên \(AH.BC=AC.AB\)

\(\Leftrightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}\)

\(\Leftrightarrow AH=\frac{a.a\sqrt{3}}{2a}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Vậy \(d\left( A{A}',\,\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).