Cho phương trình \(\left( mx-36 \right)\sqrt{2-{{\log }_{3}}x}=0\,\,\,\left( 1 \right).

* Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định của phương trình:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
2 - {\log _3}x \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
x \le 9
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow 0 < x \le 9
\end{array}\)

TH1: \(m=0\) phương trình có 1 nghiệm \(x=9\) không thỏa mãn.

TH2: \(m\ne 0\)

Với điều kiện trên ta có

\(\begin{array}{l}
\left( {mx - 36} \right)\sqrt {2 - {{\log }_3}x}  = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
mx - 36 = 0\\
\sqrt {2 - {{\log }_3}x}  = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{{36}}{m}\\
x = 9
\end{array} \right.
\end{array}\)

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}
0 < \frac{{36}}{m} < 9 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
0 < \frac{{36}}{m}\\
\frac{{36}}{m} < 9
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 0\\
\frac{{36 - 9m}}{m} < 0
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > 0\\
\left[ \begin{array}{l}
m < 0\\
m > 4
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 4
\end{array}\)

Do \(m\) thuộc đoạn \(\left[ -100;100 \right]\) nên số giá trị nguyên của \(m\) là \(96\)