Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị như hình vẽ bên dưới.

* Hướng dẫn giải

Ta có: \({g}'\left( x \right)=\left( 3{{x}^{2}}+2 \right){f}'\left( {{x}^{3}}+2x \right)\)

\(\begin{array}{l}
g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( {{x^3} + 2x} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^3} + 2x = 0\\
{x^3} + 2x = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \alpha ,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \alpha  \in \left( {0;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 1} \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vì \(g\left( 0 \right)=g\left( 1 \right)=1+m>f\left( \alpha  \right)+m=g\left( \alpha  \right)\) nên \(\underset{\left[ 0;\,\,1 \right]}{\mathop{max}}\,g\left( x \right)=1+m=9\Leftrightarrow m=8\)