Bạn Bình muốn làm một chiếc thùng hình trụ không đáy từ nguyên liệu là mảnh tôn hình tam giác đều \(ABC\) có cạnh b�

* Hướng dẫn giải

Đặt \(QP=x\,\,\left( 0<x<60 \right)\).

Ta có \(BM=\frac{60-x}{2}\Rightarrow MQ=BM.\tan 60{}^\circ =\frac{\left( 60-x \right)\sqrt{3}}{2}\).

Gọi \(r\)là bán kính đáy thùng hình trụ, \(h\)chiều cao thùng hình trụ.

Hình trụ có chu vi đáy bằng \(x=2\pi r\Rightarrow r=\frac{x}{2\pi }\).

Chiều cao \(h=MQ=\frac{\left( 60-x \right)\sqrt{3}}{2}\).

Thể tích của thùng \(V=\pi {{r}^{2}}h=\pi .{{\left( \frac{x}{2\pi } \right)}^{2}}.\frac{\left( 60-x \right)\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{8\pi }.\left( 60-x \right){{x}^{2}}\).

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có \(\left( 60-x \right)\frac{{{x}^{2}}}{4}=\left( 60-x \right).\frac{x}{2}.\frac{x}{2}\le {{\left( \frac{60-x+\frac{x}{2}+\frac{x}{2}}{3} \right)}^{3}}={{20}^{3}}=8000\).

Dấu bằng xãy ra khi \(\frac{x}{2}=60-x\Leftrightarrow x=40\).

Vậy thể tích lớn nhất của chiếc thùng \(\frac{\sqrt{3}}{2\pi }.8000=\frac{4000\sqrt{3}}{\pi }\,\left( c{{m}^{3}} \right)\).