Số các nghiệm nguyên nhỏ hơn 2019 của bất phương trình \({{\log }_{2}}\left( 16x \right)+5{{\log }_{\frac{x}{4}}}2\ge 0\) là:

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
x \ne 4
\end{array} \right.\)

BPT: \({{\log }_{2}}\left( 16x \right)+5{{\log }_{\frac{x}{4}}}2\ge 0\Leftrightarrow 4+{{\log }_{2}}x+\frac{5}{{{\log }_{2}}x-2}\ge 0\).

Đặt \(t={{\log }_{2}}x\), bất phương trình trở thành: \(t + 4 + \frac{5}{{t - 2}} \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 - 3 \le t \le 1\\
t > 2
\end{array} \right.\) 

Với \(-3\le t\le 1\) suy ra \(-3\le {{\log }_{2}}x\le 1\Leftrightarrow \frac{1}{8}\le x\le 2\,\left( TM \right).\)

Với \(t>2\) suy ra \({{\log }_{2}}x>2\Leftrightarrow x>4\,\,\left( TM \right).\)

Do \(x\in \mathbb{Z},\,x<2019\) nên \(x=\left\{ 1;2;5;6;7;8;...;2018 \right\}\)

Suy ra bất phương trình có \(2016\) nghiệm nguyên nhỏ hơn \(2019\).