Trong không gian cho tam giác \(ABC\) đều cạnh bằng 8, M là một điểm tùy ý thỏa mãn \(M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=100\).

* Hướng dẫn giải

Gọi G là trọng tâm tam giác \(ABC\) \(\Rightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\).

Khi đó

\(M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=100\)

\(\Leftrightarrow {{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC} \right)}^{2}}=100\)

\(\Leftrightarrow 3{{\overrightarrow{MG}}^{2}}+2\overrightarrow{MG}.\left( \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} \right)+{{\overrightarrow{GA}}^{2}}+{{\overrightarrow{GB}}^{2}}+{{\overrightarrow{GC}}^{2}}=100\)

\(\Leftrightarrow 3{{\overrightarrow{MG}}^{2}}+3{{\overrightarrow{GA}}^{2}}=100\left( GA=\frac{2}{3}\times \frac{8\sqrt{3}}{2}=\frac{8\sqrt{3}}{3} \right)\)

\(\Leftrightarrow {{\overrightarrow{MG}}^{2}}=12\)

\(\Leftrightarrow MG=2\sqrt{3}\).

Khi đó, quỹ tích điểm M là một mặt cầu có bán kính bằng \(2\sqrt{3}\)