Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}\) là

* Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số là D=R\{0}

Ta có

+) \(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{ - x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} } \right) = - 1 \end{array}\)

suy ra đường thẳng y=-1 làm một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+) \(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} } \right) = 1 \end{array}\)

Suy ra đường thẳng y=1 làm một đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+) \(\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{ - x\sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} }}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( { - \sqrt {1 + \frac{1}{{{x^2}}}} } \right) = - 1 \end{array}\)

suy ra đường thẳng x=-1 làm một đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy tổng số đường tiện cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là 3.