Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), \(SA = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), tam giác ABC đều cạnh bằng a (minh họa như hình dưới). Góc tạo bởi giữa mặt phẳng(SBC và...

* Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm BC.

Tam giác ABC đều cạnh a nên AM vuông góc với BC và \(AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

Ta có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) suy ra hình chiếu của SM trên mặt phẳng (ABC) là AM.

Suy ra \(SM \bot BC\) (theo ĐL ba đường vuông góc).

Có \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\
AM \subset \left( {ABC} \right),\,\,AM \bot BC\\
SM \subset \left( {SBC} \right),\,\,SM \bot BC
\end{array} \right.\). Do đó góc giữa (SBC) và (ABC) là góc giữa SM và AM, hay là góc SMA (do \(SA\bot (ABC)) \) suy ra \(SM \bot AM\) suy ra \(\Delta SAM\) vuông).

Xét tam giác SAM vuông tại A có \(\tan \widehat {SMA} = \frac{{SA}}{{AM}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = 1 \Rightarrow \widehat {SMA} = 45^\circ \)