Cho hình chóp S.ABC, mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC), cạnh SB = SC = 1, \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA} = {60^o}\) . Gọi là các điểm lần lượt thuộ...

* Hướng dẫn giải

Vì mặt phẳng (SBC) vuông góc với (ABC), cạnh SB=SC=1, nên gọi H là trung điểm của BC thì \(SH \bot (ABC)\)

Từ giả thiết ta có \(\Delta SBA=\Delta SCA \) \( \Rightarrow BA = CA \Rightarrow AH \bot BC.\)

Đặt SA = a, ta có \(S{A^2} = S{H^2} + H{A^2} = S{H^2} + \left( {A{C^2} - H{C^2}} \right)\)

Trong tam giác SAC có \(A{C^2} = S{A^2} + S{C^2} - 2.SA.SC.\cos {60^0} = {a^2} + 1 - a\)

Tam giác SBC đều cạnh bằng 1 nên \(SH = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Vậy ta có \(\begin{array}{l} {a^2} = {\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} + {a^2} + 1 - a - \frac{1}{4}\\ \Rightarrow a = \frac{3}{2} \Rightarrow HA = \frac{{\sqrt 6 }}{2}\\ \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SH.\frac{1}{2}.AH.BC = \frac{{\sqrt 2 }}{8}\\ \frac{{{V_{S.CMN}}}}{{{V_{S.CAB}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}} = \frac{1}{4} \Rightarrow x = 2 \end{array}\)