Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 4a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng đáy bằng \(60{}^\circ .\) Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp...

* Hướng dẫn giải

Ta có tâm của đáy cũng là giao điểm ba đường cao (ba đường trung tuyến) của tam giác đều ABC nên bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy là \(r = 4a.\frac{{\sqrt 3 }}{3} = \frac{{4\sqrt 3 a}}{3}\)

Đường cao AH của tam giác đều ABC là \(AH = \frac{{4a.\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 a\).

Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng đáy bằng 60^oC suy ra \(\widehat {SHA} = 60^\circ \).

Suy ra \(\tan SHA = \frac{{SA}}{{AH}} = \frac{{SA}}{{2\sqrt 3 a}} = \sqrt 3  \Rightarrow SA = 6a\).

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp \({R_{mc}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{SA}}{2}} \right)}^2} + {r^2}}  = \sqrt {9{a^2} + \frac{{16}}{3}{a^2}}  = \frac{{\sqrt {129} }}{3}a\).

Diện tích mặt cầu ngoại tiếp của hình chóp S.ABC là \({S_{mc}} = 4\pi {R^2} = 4\pi {\left( {\frac{{\sqrt {129} }}{3}a} \right)^2} = \frac{{172\pi {a^2}}}{3}\).