Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn \(2x+y{{.4}^{x+y-1}}\ge 3.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+4x+6y\) bằng

* Hướng dẫn giải

Nhận xét: Giá trị của x, y thỏa mãn phương trình \(2x + y \cdot {4^{x + y - 1}} = 3\left( 1 \right)\) sẽ làm cho biểu thức P nhỏ nhất. Đặt a = x + y, từ (1) ta được phương trình

\({4^{a - 1}} + \frac{2}{y}.a - 2 - \frac{3}{y} = 0\).

Nhận thấy \(y = {4^{a - 1}} + \frac{2}{y}.a - 2 - \frac{3}{y}\) là hàm số đồng biến theo biến a, nên phương trình trên có nghiệm duy nhất \(a = \frac{3}{2} \Rightarrow x + y = \frac{3}{2}\).

Ta viết lại biểu thức \(P = {\left( {x + y} \right)^2} + 4\left( {x + y} \right) + 2\left( {y - \frac{1}{4}} \right) - \frac{1}{8} = \frac{{65}}{8}\).

Vậy \({P_{\min }} = \frac{{65}}{8}\).