Có bao nhiêu số nguyên x sao cho ứng với mỗi x có không quá 728 số nguyên y thỏa mãn \({{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}+y \right)\ge {{\log }_{3}}\left( x+y \right)?\)

* Hướng dẫn giải

Với mọi \(x \in \) ta có \({x^2} \ge x\).

Xét hàm số \(f(y) = {\log _3}(x + y) - {\log _4}\left( {{x^2} + y} \right)\).

Tập xác định \({\rm{D}} = ( - x; + \infty )\) (do \(y >  - x \Rightarrow y >  - {x^2}\)).

\(f'(y) = \frac{1}{{(x + y)\ln 3}} - \frac{1}{{\left( {{x^2} + y} \right)\ln 4}} \ge 0,\,\,\forall x \in D\) (do \({x^2} + y \ge x + y > 0\),\(\ln 4 > \ln 3\))

→ f tăng trên D.

Ta có \(f( - x + 1) = {\log _3}(x - x + 1) - {\log _4}\left( {{x^2} - x + 1} \right) \le 0\).

Có không quá 728 số nguyên y thỏa mãn \(f\left( y \right) \le 0\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow f( - x + 729) > 0 \Leftrightarrow {\log _3}729 - {\log _4}\left( {{x^2} - x + 729} \right) > 0\\
 \Leftrightarrow {x^2} - x + 729 - {4^6} < 0\\
 \Leftrightarrow  - 57,5 \le x \le 58,5
\end{array}\)

Mà \(x \in \) nên \(x \in \left\{ { - 57,\, - 56,\,...,\,58} \right\}\).

Vậy có 58 - ( - 57) + 1 = 116 số nguyên x thỏa.