Cho hàm số thỏa mãn . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

* Hướng dẫn giải

Hàm số \(y = \dfrac{{x + m}}{{x - 2}}\) xác định và liên tục trên \(\left[ {3;5} \right]\).

Ta có \(y' = \dfrac{{ - 2 - m}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).

+ Xét \(- 2 - m > 0 \Leftrightarrow m < - 2\,\,\left( * \right)\).

Khi đó hàm số đồng biến trện [3;5].

Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} y = y\left( 3 \right) = 3 + m\). Do đó \(3 + m = 4 \Leftrightarrow m = 1\)( không thỏa ).

+ Xét \( - 2 - m < 0 \Leftrightarrow m > - 2\,\,\,\left( {**} \right)\).

Khi đó hàm số nghịch biến trện [3;5].

Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} y = y\left( 5 \right) = \frac{{5 + m}}{3}\). Do đó \(\dfrac{{5 + m}}{3} = 4 \Leftrightarrow m = 7\)( thỏa (**)).

Vậy m = 7 > 5.