Đồ thị hàm số cắt đường thẳng (m là tham số) tại hai điểm phân biệt A và B, giá trị nhỏ nhất của AB bằng bao nhiêu?

* Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường là:

\(\dfrac{{3x - 1}}{{x - 2}} = 2x + m\)

\( \Leftrightarrow 3x - 1 = \left( {2x + m} \right)\left( {x - 2} \right)\) (vì x = 2 không thỏa phương trình).

\( \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {m - 7} \right)x + 1 - 2m = 0\)

Ta có: \(\Delta = {m^2} + 2m + 41 > 0,{\rm{ }}\forall m \in R \) 

⇒ Hai đường luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B.

Gọi \(A\left( {{x_1};2{x_1} + m} \right),B\left( {{x_2};2{x_2} + m} \right).\)Khi đó: \({x_1} + {x_2} = \dfrac{{7 - m}}{2},{x_1}{x_2} = \dfrac{{1 - 2m}}{2}\)

\( \Rightarrow AB = \sqrt 5 \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \\= \sqrt 5 \sqrt {{{\left( {\dfrac{{7 - m}}{2}} \right)}^2} - 4\left( {\dfrac{{1 - 2m}}{2}} \right)} \\= \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\sqrt {{m^2} + 2m + 41} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\sqrt {{{\left( {m + 1} \right)}^2} + 40} \)

\(\Rightarrow AB \ge \frac{{\sqrt 5 }}{2}\sqrt {40} = 5\sqrt 2 \)

Đẳng thức xảy ra khi m = -1