Cho khối chóp có đáy là tam giác đều cạnh , vuông góc với mặt phẳng đáy và khoảng cách từ đến mặt phẳng bằng . Tính thể tích khối chóp đã cho

* Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm của BC, H là hình chiếu vuông góc của A lên SM.

Khi đó ta có \(AH = {d_{\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)}}\). Ta có: \(AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},AH = \dfrac{{3a}}{4}\).

\(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{M^2}}} \\\Rightarrow \dfrac{1}{{S{A^2}}} = \dfrac{4}{{9{a^2}}} \Rightarrow SA = \dfrac{{3a}}{2}\)

\(V = \dfrac{1}{3}{S_{\Delta ABC}}.SA = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{3a}}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\)