Gọi H(a;b;c) là điểm thuộc d sao cho AH có độ dài nhỏ nhất

* Hướng dẫn giải

Phương trình tham số của đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 1 + 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)

\(H \in d \Rightarrow H\left( {1 + t;\,2 + t;\,1 + 2t} \right)\)

Độ dài \(AH = \sqrt {{{\left( {t - 1} \right)}^2} + {{\left( {t + 1} \right)}^2} + {{\left( {2t - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {6{t^2} - 12t + 11}  = \sqrt {6{{\left( {t - 1} \right)}^2} + 5}  \ge \sqrt 5 \)

Độ dài AH nhỏ nhất bằng \(\sqrt 5 \) khi \(t = 1 \Rightarrow H\left( {2;3;3} \right)\)

Vậy \(a = 2,\,\,b = 3,\,\,c = 3 \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} = 62\)