Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y = {sin ^3}x - 3{cos ^2}x - msin x - 1  đồng biến trên

* Hướng dẫn giải

Đặt \(\sin x = t,\,\,x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;1} \right]\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + 3{t^2} - mt - 4\)

Ta có \(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 6t - m\)

Để hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right]\) cần: \(f'\left( t \right) \ge 0,\,\,\,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\)

\( \Leftrightarrow 3{t^2} + 6t - m \ge 0\,\,\,\forall t \in \left[ {0;1} \right] \Leftrightarrow 3{t^2} + 6t \ge m\,\,\,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\)

Xét hàm số \(g\left( t \right) = 3{t^2} + 6t;\,\,\,g'\left( t \right) = 6t + 6; & \,\,g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t =  - 1\)

Đặt \(\sin x = t,\,\,x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;1} \right]\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + 3{t^2} - mt - 4\)

Ta có \(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 6t - m\)

Để hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right]\) cần: \(f'\left( t \right) \ge 0,\,\,\,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\)

\( \Leftrightarrow 3{t^2} + 6t - m \ge 0\,\,\,\forall t \in \left[ {0;1} \right] \Leftrightarrow 3{t^2} + 6t \ge m\,\,\,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\)

Xét hàm số \(g\left( t \right) = 3{t^2} + 6t;\,\,\,g'\left( t \right) = 6t + 6; & \,\,g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t =  - 1 \notin \left[ {0;1} \right]\)

Ta có: \(g(0) = 0;g(1) = 9 \Rightarrow \mathop {min}\limits_{\left[ {0;1} \right]} g(t) = 0\)

Do đó \(m \le 0\) thì hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ {0;1} \right]\) khi đó hàm số \(y = {\sin ^3}x - 3{\cos ^2}x - m\sin x - 1\) đông biến trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right].\)