Cho f(x) là hàm liên tục trên đoạn [0;a] thỏa mãn, trong đó b, c là các số nguyên dương và b/c là phân số tối giản

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t = a - x \Rightarrow dt =  - dx\)

Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = a;\,\,x = a \Rightarrow t = 0\)

Lúc đó \(I = \int\limits_0^a {\frac{{dx}}{{1 + f\left( x \right)}}}  = \int\limits_a^0 {\frac{{ - dt}}{{1 + f\left( {a - t} \right)}}}  = \int\limits_0^a {\frac{{dx}}{{1 + f\left( {a - x} \right)}}}  = \int\limits_0^a {\frac{{dx}}{{1 + \frac{1}{{f\left( x \right)}}}}}  = \int\limits_0^a {\frac{{f\left( x \right)dx}}{{1 + f\left( x \right)}}} \)

Suy ra \(2I = I + I = \int\limits_0^a {\frac{{dx}}{{1 + f\left( x \right)}}}  + \int\limits_0^a {\frac{{f\left( x \right)dx}}{{1 + f\left( x \right)}}}  = \int\limits_0^a {1dx}  = a\)

Do đó \(I = \frac{1}{2}a \Rightarrow b = 1;\,\,c = 2 \Rightarrow b + c = 3\)

Cách 2: Chọn \(f\left( x \right) = 1\) là một hàm thỏa các giả thiết. Dễ dàng tính được

\(I = \frac{1}{2}a \Rightarrow b = 1;\,\,c = 2 \Rightarrow b + c = 3\)