Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng và ba điểm A(0;1;2), B(1;1;1), C(2;-2;3). Tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho nhỏ nhất là

* Hướng dẫn giải

Gọi M(a;b;c). Vì \(M \in \left( P \right)\) nên: a - b + c + 3 = 0

Ta có:

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AM} = \left( {a;b - 1;c - 2} \right);\overrightarrow {BM} = \left( {a - 1;b - 1;c - 1} \right);\\ \overrightarrow {CM} = \left( {a - 2;b + 2;c - 3} \right)\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = \sqrt {{{\left( {3a - 3} \right)}^2} + {{\left( {3b} \right)}^2} + {{\left( {3c - 6} \right)}^2}} \\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = \sqrt 3 .\sqrt {3\left[ {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( { - b} \right)}^2} + {{\left( {c - 2} \right)}^2}} \right]} \\ \ge \sqrt 3 .\sqrt {{{\left( {a - 1 - b + c - 2} \right)}^2}} = \sqrt 3 .\sqrt {{{\left( {a - b + c - 3} \right)}^2}} = 6\sqrt 3 \end{array}\)

Dấu "=" xảy ra khi:

 \(\begin{array}{l} a - 1 = - b = c - 2;a - b + c + 3 = 0\\ \Leftrightarrow a = - 1;b = 2;c = 0 \Rightarrow M\left( { - 1;2;0} \right) \end{array}\)