Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và mặt cầu . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để d cắt (S) tại hai điểm phân biệt?

* Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l} \left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 6y - 4z + 13 = 0\\ \Leftrightarrow \left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 1 \end{array}\)

d cắt (S) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình sau có hai nghiệm phân biệt:

\(\begin{array}{l} {\left( {\left( {2 + t} \right) - 1} \right)^2} + {\left( {\left( {1 + mt} \right) + 3} \right)^2} + {\left( { - 2t - 2} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow {\left( {t + 1} \right)^2} + {\left( {mt + 4} \right)^2} + {\left( {2t + 2} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 5} \right){t^2} + 2\left( {4m + 5} \right)t + 20 = 0\\ \Delta ' = {\left( {4m + 5} \right)^2} - 20\left( {{m^2} + 5} \right) = - 4{m^2} + 40m - 75\\ \Delta ' > 0 \Leftrightarrow 4{m^2} - 40m + 75 < 0 \Leftrightarrow \frac{5}{2} < m < \frac{{15}}{2}\\ m \in Z \Rightarrow m \in \left\{ {3;4;5;6;7} \right\} \end{array}\)