Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9\) và điểm \(A\left( 2;3;-1 \right)\). Xét c...

* Hướng dẫn giải

Mặt cầu (S) có tâm là \(I\left( -1;-1;-1 \right)\), bán kính R = 3.

Ta có: \(\overrightarrow{IA}=\left( 3;4;0 \right)\Rightarrow IA=5\).

Vì AM là tiếp tuyến của mặt cầu nên ta có: \(AM\bot IM\Rightarrow AM=\sqrt{I{{A}^{2}}-I{{M}^{2}}}=4\).

Gọi (S) là mặt cầu tâm A, bán kính \({R}'=4\).

Ta có phương trình mặt cầu \(\left( {{S}'} \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=16\)

Vì AM = 4 nên điểm M luôn thuộc mặt cầu (S)

Vậy \(M\in \left( S \right)\cap \left( {{S}'} \right)\Rightarrow \) tọa độ điểm M là nghiệm của hệ:

\(\left\{ \begin{array} {} {{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9\text{ }\left( 1 \right) \\ {} {{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=16\text{ }\left( 2 \right) \\ \end{array} \right.\\\xrightarrow{\left( 1 \right)-\left( 2 \right)}6x+8y-11=-7\text{ hay }M\in \left( P \right):3x+4y-2=0\).