Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array} {} x=t \\ {} y=-6+t \\ {} z=2-t \\ \end{array} \right.;\textΔ:\left\{ \begin{array} {} x=5+2t \\...

* Hướng dẫn giải

Gọi \(I\left( t;-6+t;2-t \right)\) là tâm của mặt cầu và R là bán kính của mặt cầu (S).

Ta có \(R=d\left( I;\left( P \right) \right)=\frac{\left| t+3\left( -6+t \right)-\left( 2-t \right)-1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=\frac{\left| 5t-21 \right|}{\sqrt{11}}\text{ }\left( 1 \right)\).

Điểm \(A\left( 5;1;-1 \right)\in \left( \textΔ \right)\Rightarrow \overrightarrow{AI}=\left( t-5;t-7;3-t \right)\) suy ra VTCP của \(\textΔ\) là \(u=\left( 2;1;-1 \right)\).

Mặt khác \(R=d\left( I;\left( \textΔ \right) \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{u};\overrightarrow{AI} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{u} \right|}=\frac{\sqrt{2{{t}^{2}}-20t+98}}{\sqrt{6}}\text{ }\left( 2 \right)\).

Từ (1), (2) ta được \(\frac{\left| 5t-21 \right|}{\sqrt{11}}=\frac{\sqrt{2{{t}^{2}}-20t+98}}{\sqrt{6}}\Rightarrow t=2\Rightarrow {{x}_{I}}=2\Rightarrow {{y}_{I}}=-4\).