Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x-2}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z+1}{-1}\) và điểm \(I\left( 2;-1;1 \right)\). Viết phương trình mặt cầu có tâm I và cắt...

* Hướng dẫn giải

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d \(\Rightarrow H\left( 2t+2;2t+1;-t-1 \right)\).

Đường thẳng d có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{{{u}_{d}}}=\left( 2;2;-1 \right)\).

Sử dụng \(\overrightarrow{IH}.\overrightarrow{{{u}_{d}}}=0\Leftrightarrow t=-\frac{2}{3}\Leftrightarrow H\left( \frac{2}{3};-\frac{1}{3};-\frac{1}{3} \right)\Rightarrow IH=2\)

Hoặc ta có \(IH=d\left( I;d \right)=\frac{\left| \left[ \overrightarrow{I{{M}_{0}}};\overrightarrow{{{u}_{d}}} \right] \right|}{\left| \overrightarrow{{{u}_{d}}} \right|}=2\).

Tam giác IAB vuông cân tại I nên \(R=IA=\sqrt{2}.IH=2\sqrt{2}\).

Suy ra phương trình mặt cầu là: \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=8\).