Cho hàm số có đồ thị (C). Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng y = x.

* Hướng dẫn giải

Ta có \(y' = - 3{x^2} + 4x\).

Gọi \(M\left( {{x_0}; - x_0^3 + 2x_0^2} \right)\) là tiếp điểm. Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại M là: \(k = - 3x_0^2 + 4{x_0}\).

Vì tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng y = x nên ta có:

\(- 3x_0^2 + 4{x_0} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x_0} = 1\\ {x_0} = \frac{1}{3} \end{array} \right.\).

Tại \({x_0} = 1 \Rightarrow M\left( {1;1} \right)\): Phương trình tiếp tuyến là: y = x ( loại).

Tại \({x_0} = \frac{1}{3} \Rightarrow M\left( {\frac{1}{3};\frac{5}{{27}}} \right)\): Phương trình tiếp tuyến là: \(y = x - \frac{4}{{27}}\).