Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình có nghiệm?

* Hướng dẫn giải

Ta có \(\frac{3}{4}{\cos ^2}2x + 3\sin x.\cos x - \frac{m}{4} + \frac{9}{4} = 0 \Leftrightarrow - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x + \frac{3}{2}\sin 2x + 3 - \frac{m}{4} = 0\)

Đặt \(t = \sin 2x,\,t \in \left[ { - 1;1} \right]\) khi đó ta có phương trình \( - 3{t^2} + 6t + 12 = m\)

Bài toán trở thành tìm m để phương trình có nghiệm \(t \in \left[ { - 1;1} \right]\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = - 3{t^2} + 6t + 12;\,f'\left( t \right) = - 6t + 6\)

\(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1\)

Bảng biến thiên

Phương trình có nghiệm khi \(3 \le m \le 15.\)

Vậy có 13 giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm.