Biết là hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị hàm số sao cho độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất. Tính .

* Hướng dẫn giải

Đặt \({x_A} = - 1 + t;{x_B} = - 1 - t\left( {t > 0} \right)\), khi đó

Ta có \(A\left( { - 1 + t;\frac{{t + 3}}{t}} \right);B\left( { - 1 - t;\frac{{ - t + 3}}{{ - t}}} \right)\), khi đó \(AB = \sqrt {4{t^2} + {{\left( {\frac{{t + 3}}{t} + \frac{{ - t + 3}}{t}} \right)}^2}} = \sqrt {4{t^2} + \frac{{36}}{{{t^2}}}} \)

\( \ge \sqrt {2.\sqrt {4{t^2}.\frac{{36}}{{{t^2}}}} } = \sqrt {2.2.6} = 2\sqrt 6 \).

Dấu bằng xảy ra khi \({t^4} = 9 \Leftrightarrow t = \sqrt 3 \), suy ra \(A\left( { - 1 + \sqrt 3 ;1 + \sqrt 3 } \right);B\left( { - 1 - \sqrt 3 ;1 - \sqrt 3 } \right)\).

Khi đó \(P = {\left( {1 + \sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^2} - \left( { - 1 + \sqrt 3 } \right)\left( { - 1 - \sqrt 3 } \right)=10\).