Cho số thực a > 1. Gọi A, B, C lần lượt là các điểm thuộc đồ thị các hàm số Biết tam giác ABC vuông cân đỉnh A, AB = 4 và đường thẳng AC song song với trục Oy. Khi đó giá trị a b...

* Hướng dẫn giải

Gọi tọa độ các điểm \(A\left( {{x_1};{a^{{x_1}}}} \right);B\left( {{x_2};{a^{ - {x_2}}}} \right);\,C\left( {{x_3}; - {{\log }_a}{x_3}} \right)\).

Tam giác ABC vuông cân tại A, AB = 4 từ đó tính được AC = 4 (1)

Do AC // Oy nên \({x_1} = {x_3}\) (2)

Từ (1) và (2) rút được \({a^{{x_1}}} + {\log _a}{x_3} = 4 \Leftrightarrow {a^{{x_1}}} + {\log _a}{x_1} = 4\) (3)

Tam giác ABC vuông cân tại A; AC // Oy suy ra AB // Ox từ đó có \({a^{{x_1}}} = {a^{ - {x_2}}} \Leftrightarrow {x_1} = - {x_2}\), từ \({\log _a}{x_3} = {\log _a}{x_1}\) để có nghĩa thì \({x_1} > 0\) suy ra \({x_1} < 0\) nên ta có \(4 = AB = \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = {x_1} - {x_2} = 2{x_1} \Leftrightarrow {x_1} = 2\) (4)

Từ (3) và (4) ta được \({a^2} + {\log _a}2 = 4 \Leftrightarrow a = \sqrt {2\,} \)