Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy là một tam giác vuông cân tại B, AB = BC = a, , M là trung điểm BC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và B'C.

* Hướng dẫn giải

Gọi E là trung điểm của BB'. Khi đó: \(EM{\kern 1pt} \;{\rm{//}}\;B'C \Rightarrow B'C{\kern 1pt} \;{\rm{//}}\;(AME)\)

Ta có: \(d\left( {AM,B'C} \right) = d\left( {B'C,\left( {AME} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AME} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {AME} \right)} \right)\)

Xét khối chóp BAME có các cạnh BE, AB, BM đôi một vuông góc với nhau nên

\(\frac{1}{{{d^2}\left( {B,\left( {AME} \right)} \right)}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{M{B^2}}} + \frac{1}{{E{B^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{d^2}\left( {B,\left( {AME} \right)} \right)}} = \frac{7}{{{a^2}}} \Leftrightarrow {d^2}\left( {B,\left( {AME} \right)} \right) = \frac{{{a^2}}}{7} \Leftrightarrow d\left( {B,\left( {AME} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 7 }}{7}\)