Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x +y + z?

* Hướng dẫn giải

Với x, y, z là các số thực không âm, nên: \(4 = {2^x} + {2^y} + {2^z} \ge {2^x} + 2 \Leftrightarrow 0 \le x \le 1\).

Tương tự: \(y,z \in \left[ {0;1} \right]\).

Ta chứng minh: \({2^t} \le t + 1,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} - t - 1,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\).

\(f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 - 1\).

\(f''\left( t \right) = {2^t}{\ln ^2}2 > 0\) ⇒ f'(t) đồng biến.

⇒ f'(t) có nhiều nhất 1 nghiệm. Do đó f(t) = 0 có nhiều nhất 2 nghiệm.

Mặt khác: \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right) = 0\) nên \(f\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 0\\ t = 1 \end{array} \right.\).

Suy ra \(f\left( t \right) \le 0,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\) hay \({2^t} \le t + 1,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\) (*)

Áp dụng (*), ta được: \(\left\{ \begin{array}{l} {2^x} \le x + 1\\ {2^y} \le y + 1\\ {2^z} \le z + 1 \end{array} \right. \Rightarrow P = x + y + z \ge {2^x} + {2^y} + {2^z} - 3 = 1\).

\( \Rightarrow {\rm{min }}P = 1\), đạt được khi \(\left\{ \begin{array}{l} {2^x} = x + 1\\ {2^y} = y + 1\\ {2^z} = z + 1\\ {2^x} + {2^y} + {2^z} = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left( {x,y,z} \right) = \left( {0;0;1} \right)\) và các hoán vị.